Realizó estudios de Odontología en la Universidad Nacional de México (hoy, Universidad Nacional Autónoma de México unam). Conoció a Germán Camus, productor que lo invitó a asistir a los rodajes en su Estudio México Film. A los veinte años de edad Alejandro Galindo se trasladó a Hollywood, donde estudió Cinematografía y Teatro y entre 1925 y 1930,  Técnicas de la construcción dramática para el filme, en el Palmer Institute of Photoplay; Fotografía, edición y compaginación de filme, en el Consolidated Film Laboratories, y Guionismo, en el Hollywood Institute of Scriptwriting and Photoplay. Participó con pequeños papeles en el School Theatre y escribió argumentos para cine. Adaptó al español películas producidas por la Columbia Pictures. Trabajó como asistente de realización en la Metro Golden Mayer, donde conoció al realizador Gregory La Cava, quien lo adiestró en los secretos de ese oficio. Regresó a México en 1930, escribió guiones y participó como redactor y director de distintos programas radiofónicos para la xeb, xefo y xew. Durante la primera mitad de la década de los treinta escribió artículos sobre técnica y estética de cine, en Revista de Revistas y en Cinema-Reporter. Fue argumentista de las cintas mexicanas La isla maldita y El baúl macabro,  actor en esta última y en ¡Esos hombres! En 1935 dirigió documentales y cortos cinematográficos como Teotihuacán, tierra de emperadores; se dedicó a la realización de largometrajes, debutando en 1937 con Almas rebeldes, llegando a dirigir más de ochenta películas. Impartió clases de Guionismo en el Centro de Estudios Cinematográficos y Teatrales y en el Centro Universitario de Estudios Cinematográficos (cuec) de la unam, donde también dio clases de Actuación; en el Claustro Sor Juana, en la Academia Andrés Soler y en el Instituto Nacional de Arte Dramático; de Teatro, en la Sociedad General de Escritores de México (sogem), y un Taller de Guión y Dramaturgia en la Casa de Cultura Jesús Reyes Heroles, en 1991. Galindo escribió la mayoría de los argumentos y adaptaciones de las películas que dirigió. Fue autor de cinco piezas teatrales y de varios libros sobre cine. Viajó por Europa y el Continente Americano por invitación de instituciones culturales.

Héctor Alejandro Galindo Amezcua fue director de cine y dramaturgo, argumentista y guionista, adaptador y ensayista de temas cinematográficos. Distinguen su obra la fidelidad de rasgos, actitudes, lenguajes, gestos y movimientos de personajes populares como vendedores, boxeadores, taxistas, choferes de autobuses en ambientes arrabaleros, tradicionalistas y delictivos, con diálogos verosímiles en situaciones cotidianas. Las mejores producciones de Galindo fueron las que llevaron argumentos, adaptaciones y guiones de su autoría. Es considerado el primer cronista cinematográfico de la ciudad del México del siglo xx, dado que sus obras dan cuenta de sus transformaciones físicas y sociales. En Campeón sin corona observamos los movimientos migratorios de la gente de provincia a la capital del país; Una familia de tantas y en Los Fernández de Peralvillo, presenta el surgimiento de la nueva clase media. Espaldas mojadas plantea el problema de los indocumentados; Dicen que soy comunista se filmó durante el macartismo en México. Sus obras de teatro abordan el papel que desempeñó la mujer en la Revolución Mexicana en piezas como Y la mujer hizo al hombre. El conflicto de la juventud iconoclasta, rebelde, que busca la explicación de sí misma, del mundo y de su destino está en La rebelión de los sueños; mientras que la ambición de poder, las luchas sociales, el espejismo del oro son algunos de los elementos que integran el tema central de Llanto y adiós de doña Malinche. Sus ensayos sobre el cine mexicano abordan los problemas administrativos, estéticos, culturales y políticos que aquejan al medio cinematográfico en nuestro país. Dejó inédito su guión cinematográfico "En busca del mexicano".